扩展欧几里得求逆元、中国剩余定理-白红宇

扩展欧几里得求逆元、中国剩余定理

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发布时间：2019-05-26

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中国剩余定理板子

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           using namespace std;typedef long long LL;const int N = 30;LL a[N],m[N];// 扩展欧几里得 求 逆元 void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){ if(b == 0){ x = 1; y = 0; return; } else{ exgcd(b,a%b,x,y); int t = x; x = y; y = t-(a/b)*y; }} // a[i] 为 余数 ， m[i] 为 对 m[i] 取余 LL CRT(LL a[],LL m[], LL n){ LL x,y,M = 1; for(int i = 0; i < n; ++i) M *= m[i]; // m[i] 乘积 LL ret = 0; for(int i = 0; i < n; ++i){ LL Mi = M/m[i]; exgcd(Mi,m[i],x,y); ret = (ret + a[i]*x*Mi)%M; // 注意 这位置不能 ret += } return (ret+M)%M; // 注意 x可能为 负值 需要 + M 取模 得到正值 }int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i = 0; i < n; ++i){ scanf("%d%d",&m[i],&a[i]); } LL ans = CRT(a,m,n); printf("%d\n",ans); return 0; }

参考：

参考大神的证明：

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

#include
   
    int exgcd(int a,int b,int &x, int &y)	{		if(b == 0){			x = 1;			y = 0;			return a;		}		else{			int d = exgcd(b,a%b,x,y);//求出下一步的xn,yn 			int t = x;			x = y;//给到上一步的xn-1,yn-1: xn-1 = yn  , yn-1 = xn-a/b*yn 			y = t-a/b*y;			return d;		}	}int main()	{		int a = 47,b = 30;		int x1,y1;		int r = exgcd(a,b,x1,y1);		printf("%d %d",x1,y1);				return 0;		}